Minggu, 11 Mei 2014

CONTOH SOAL FUNGSI

Written by   on   in   with Tidak ada komentar


ILMU ALAMIAH DASAR
TUGAS 16
(Contoh Soal Fungsi)
***
1. Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x2 + 6x – 7, maka g(x) = …
  Penyelesaian :
(f o g)(x)          = 2x2 + 6x – 7
f(g(x))              =  2x2 + 6x – 7
2(g(x)) + 3       = 2x2 + 6x – 7
2 (g(x))            =  2x2 + 6x –10
jadi   g(x)         = x2 + 3x – 5 

2.      Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x2 – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x2 – 6x – 1 
maka f(x) = ….

Penyelesaian :
 
(f o g)(x)          = 2x2 – 6x – 1
 f (g(x))            = 2x2 – 6x – 1
 f ( x2 – 3x + 1)= 2x2 – 6x – 1
                       = 2 ( x2 – 3x + 1 ) - 3
Jadi       f (x)    = 2x - 3

3. Jika f(x) = x2 + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :
 g(8) = 8 - 12 = - 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4


4. Diketahui (f o g)(x) = x2          + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x2  + 3x + 4
f (g(x))        =  x2  + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3  maka  
           4x - 5   = 3
                   4x = 8
                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x2  + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  22         + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14
 
REFERENSI:
http://matematikatips.blogspot.com
Share:

SOAL LOGIKA MATEMATIKA

Written by   on   with Tidak ada komentar

ILMU ALAMIAH DASAR
TUGAS 15
(Contoh Soal Logika Matematika)
***

CONTOH SOAL LOGIKA MATEMATIKA

1. Sebuah perusahaan kembang gula mendapat pesanan sebanyak 25 ball kembang gula. Setiap ball terdiri dari 10 pak, setiap  pak berisi 25 bungkus. Harga 1 ball kembang gula adalah Rp 16.250,-. Bagi pembeli yang membeli 100 hingga 200 ball kembang gula akan mendapat potongan 6%. Jika para pembeli tersebut kemudian menjual kembang gula dengan harga Rp 85,- per bungkus, berapakah keuntungan yang diperoleh?

A. Rp 750.000,-
B. Rp 746.500,-
C. Rp 746.875,-
D. Rp 750.500,-


2. Jika jari - jari lingkaran P adalah 60% dari jari - jari lingkaran Q, berapa persenkah luas lingkaran P dari luas lingkaran Q?

A. 20%
B. 25%
C. 36%
D. 26%


3. Ingkaran dari "Beberapa jenis burung tidak dapat terbang" adalah:

A. semua jenis burung dapat terbang
B. berbagai jenis burung dapat terbang
C. ada jenis burung yang dapat terbang
D. ada jenis burung yang tidak dapat terbang


4. Negasi dari "Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler" adalah:

A.tidak ada siswa yang membuat tugas kokurikuler
B. beberapa siswa membuat tugas kokurikuler
C. ada siswa yang tidak membuat tugas kokurikuler
D. beberapa siswa tidak membuat tugas kokurikuler


5. Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak, pembangunan berjalan lancar" adalah:

A. Jika pembangunan tidak berjalan lancar, ada warga negara yang tidak membayar pajak
B. jika pembangunan tidak berjalan lancar, semua warga negara tidak membayar pajak
C. jika pembangunan berjalan lancar, tidak semua warga negara membayar pajak
D. jika tidak semua warga negara  membayar pajak, pembangunan tidak berjalan lancar


6. Negasi dari pernyataan "Jika garis K tegak lurus bidang x, semua garis di bisang x tegak lurus garis K" adalah:

A. garis K tegak lurus bidang x, tetapi ada garis di bidang x yang tidak tegak lurus garis K
B. jika garis K tegak lurus di bidang x, semua garis di bidang x tidak tegak lurus garis K
C. garis K tidak tegak lurus bidang x, semua garis di bidang x tegak lurus garis k
D. jika garis K tegak lurus bidang x, semua garis di bidang x tegak lurus garis K


7. Suatu pernyataan "Jika saya rajin belajar maka saya lulus ujian"
Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah:

A. Jika saya tidak lulus ujian maka saya rajin belajar
B. Jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak lulus ujian
C. Jika saya lulus ujian maka rajin belajar
D. Jika saya lulus ujian maka rajin belajar


8. Pernyataan majemuk "Jika hari ini hujan, sungai meluap", ekuivalen dengan:

A. Jika sungai tidak meluap, hari tidak hujan
B. Hari hujan dan sungai meluap
C. Jika sungai tidak meluap, hari tidak hujan
D. Jika hari tidak hujan, sungai tidak meluap


9. Diketahui premis - premis berikut:
Premis 1: Jika Dodi rajin belajar, ia naik kelas
Premis 2: Jika Ddi naik kelas, ia akan dibelikan baju

Kesimpulan yang sah adalah:

A. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan baju
B. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan baju
C. Dodi tidak rajin belajar, tetapi ia akan dibelikan baju
D. Dodi rajin belajar, tetapi ia tidak akan dibelikan baju


10. Diketahui pernyataan:
1. Jika hari panas, Ani memakai topi
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung
3. Ani tidak memakai payung

kesimpulan yang sah adalah:

A. hari tidak panas
B. hari panas
C. hari tidak panas dan Ani memakai topi
D. Ani memakai topi


Share:

Tautologi, Kontadiksi, dan Ekuivalensi

Written by   on   with Tidak ada komentar

ILMU ALAMIAH DASAR
TUGAS 14
(Tautologi, Kontradiksi, Ekuivalensi)
***


TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA
A.   TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A  Tono pergi kuliah
B  Tini pergi kuliah
C  Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1)   A → B                                    (Premis)
(2)   C → B                         (premis)
   (3) (A V C) → B                  (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) → B        
A
B
C
A → B
C → B
(A → B) ÊŒ (C → B)
A V C
(A V C) → B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
BB
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
 ((A → B) ÊŒ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2][2].
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1.      (p ÊŒ  ~q)  p
Pembahasan:
p
q
~q
(p ʌ ~q)
(p ÊŒ ~q)  p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ÊŒ ~q)  p selalu benar.
2.      [(p  q) ÊŒ p] p  q
Pembahasan:
p
q
(p  q)
(p  q) ÊŒ p
[(p  q) ÊŒ p] p  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                      (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ÊŒ p] p  q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a.     (p ÊŒ q)  q
Penyelesaian:
(p ÊŒ q)  q  ~(p ÊŒ q) v q
                         ~p v ~q v q
             ~p v T
             T .............(Tautologi)[3][3]
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ÊŒ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ÊŒ q)  q yaitu:
P
q
(p ʌ q)
(p ÊŒ q)  q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
T
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ÊŒ q)  q merupakan Tautologi.
b.     q  (p v q)
penyelesaian:
q  (p v q)     ~q v (p v q)
                          ~q v (q v p)
                          T v p
                          T ............(Tautologi)
B.   KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4][4]

Contoh dari Kontradiksi:
1.      (A ÊŒ ~A)
Pembahasan:
A
~A
(A ʌ ~A)
B
S
S
B
S
S
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2.      P ÊŒ (~p ÊŒ q)
Pembahasan:
p
q
~p
(~p ʌ q)
P ʌ (~p ʌ q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
C.   Ekuivalensi Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.
Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:
1.      Hukum komutatif:
p ÊŒ q  q ÊŒ p
p v q q v p
2.      Hukum asosiatif:
(p ÊŒ q) ÊŒ r  p ÊŒ (q ÊŒ r)
(p v q) v r  p v (q v r)
3.      Hukum distributif:
p ÊŒ (q v r)  (p ÊŒ q) v (p ÊŒ r)
p v (q ÊŒ r)  (p v q) ÊŒ (p v r)
4.      Hukum identitas:
p ÊŒ T  p
p v F  p
5.      Hukum ikatan (dominasi):
P v T  T
P v F  F
6.      Hukum negasi:
P v ~p  T
P ÊŒ ~p  F
7.      Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p)  p
8.      Hukum idempoten:
P ÊŒ p  p
p v p  p

9.      Hukum de morgan:
~( p ÊŒ q)  ~p v ~q
~(p v q)  ~p ÊŒ ~q
10.   Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ÊŒ q)  p
P ÊŒ (p v q)  p
11.  Hukum T dan F:
~T  F
~F  T
12.  Hukum implikasi ke and/or:
P  q  ~p v q[5][5]
Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:
1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ÊŒ ~q)  ~p
Jawab:
~(p v ~q) v (~p ÊŒ ~q)  (~p ÊŒ q) v (~p ÊŒ ~q)
                                      ~p ÊŒ (q v ~q)
                                      ~p ÊŒ T
                                      ~p ...........(terbukti)
2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ÊŒ ~q)
Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:
p
q
~p
~q
p v q
~(p v q)
(~p ʌ ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika. Jakarta: Erlangga.
Limbong, A dan A. Prijono. 2006. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.
Soesianto, F dan Djoni Dwijono.2003. Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi.
Upschutz, Seymour dan Marc Lars Lipson. 2008. Matematika Diskrit. Jakarta: Erlangga.
Share: